[Giải đáp] Trong một tam giác, ba đường trung tuyến phân biệt có bao nhiêu giao điểm?

[Giải đáp] Trong một tam giác, ba đường trung tuyến phân biệt có bao nhiêu giao điểm?

Theo định lý đường trung tuyến trong tam giác, ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này được gọi là trọng tâm của tam giác. Do đó, trong một tam giác, ba đường trung tuyến phân biệt chỉ có một giao điểm, đó là tại trọng tâm của tam giác.

Chứng minh:

Xét tam giác ABC và ba đường trung tuyến AM, BN, CM.

• Gọi I là giao điểm của AM và BN.
• Gọi J là giao điểm của BN và CM.
• Gọi K là giao điểm của CM và AM.

Ta có:

• I là trung điểm của BM, nên IB = MI = IM.
• J là trung điểm của CN, nên JC = NJ = NI.
• K là trung điểm của MA, nên KA = AK = AM.

Từ đó, ta có:

IB + JC + KA = MI + NJ + AK = IM + NI + AM

Mà IB + JC + KA = BC, MI + NJ + AK = AC, IM + NI + AM = AB.

Do đó, BC = AC = AB.

Tam giác ABC là tam giác đều.

• Xét tam giác AIM.
• Ta có:
  • AM là trung tuyến của tam giác ABC, nên AM = BC/2 = AB/2
  • AI = IM = IB = AB/4
  • AM là tia phân giác của góc A, nên AI/AM = tan(A/2)
  • IM/AM = tan(B/2)
  • IB/AM = tan(C/2)

Từ đó, ta có:

tan(A/2) + tan(B/2) + tan(C/2) = 1

• Xét tam giác BJM.
• Ta có:
  • BM là trung tuyến của tam giác ABC, nên BM = BC/2 = AC/2
  • BJ = BM/2 = AB/4
  • JM = BN/2 = AC/4
  • BM là tia phân giác của góc B, nên BJ/BM = tan(B/2)
  • JM/BM = tan(C/2)

Từ đó, ta có:

tan(B/2) + tan(C/2) + tan(C/2) = 1

• Xét tam giác CKM.
• Ta có:
  • CM là trung tuyến của tam giác ABC, nên CM = BC/2 = AB/2
  • CK = CM/2 = AB/4
  • KM = CM/2 = AB/4
  • CM là tia phân giác của góc C, nên CK/CM = tan(C/2)
  • KM/CM = tan(A/2)

Từ đó, ta có:

tan(C/2) + tan(A/2) + tan(A/2) = 1

Từ ba đẳng thức trên, ta có:

2 * (tan(A/2) + tan(B/2) + tan(C/2)) = 3

tan(A/2) + tan(B/2) + tan(C/2) = 3/2

Từ đó, ta có:

tan(A/2) + tan(B/2) + tan(C/2) > 1

Điều này là không thể, vì tổng ba số dương không thể lớn hơn 1.

Vậy, ba đường trung tuyến của tam giác ABC không thể có ba giao điểm. Do đó, ba đường trung tuyến phân biệt chỉ có một giao điểm, đó là tại trọng tâm của tam giác.